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内容来源：魏巍之巅所属栏目：导读更新日期：2024-11-29

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八上数学60题，速练！八年级上册数学期中考试精选60题𐟔导Œ覆盖了35个重要考点！提前让孩子查缺补漏，夯实基础，考试不丢分！全等三角形的应用（共2小题） 24. (2023秋ⷥ𛺦𙖥Ž🦜Ÿ中) 如图所示是一个3㗳的正方形网格，图形的各个顶点均为格点。求21+22的度数。 25. (2024春ⷥŒ𚦜Ÿ中) 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4）。你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带哪一块去？角平分线的性质（共2小题） 27. (2024春ⷦ奮𞦜Ÿ中) 如图，在RtABC中，A=90Ⱟ𜌂D平分ZABC，BC=4，Sapc=2，则AD=多少？ 28. (2023秋柘城县期中) 如图，E为ZBAC平分线AP上一点，AF=4,AAEF的面积为6，则点E到直线AC的距离为多少？线段垂直平分线的性质（共2小题） 29. (2024春ⷧ揧”𐥌𚦠᧺禜Ÿ中) 如图，AABC中，AB=AE，且ADIBC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E。若ABC周长为16，AC=6，则DC为多少？ 30. (2024春ⷨᡥ—县校级期中) 如图，已知ZB=20Ⱟ𜌚C=25Ⱟ𜌨‹名和ON分别垂直平分AB和AC，则ZPAQ=多少？等腰三角形的性质（共2小题） 31. (2023秋ⷦ𒐩˜𓥎🦜Ÿ中) 如图，在MBC中，AB=AC，AD⊥BC，且BC=4，则BD长为多少？ 32. (2024春大田县期中) 已知实数a，b满足a-1+(b-3)ⲽ0，则以a，b的值为两条边长的等腰三角形的周长是多少？等腰三角形的判定（共1小题） 33. (2023秋ⷦƒ 东县期中) 如图，坐标平面内一点A(3,-2)，O为原点，P是x轴上的一个动点。如果以点A和P为端点的线段AP的垂直平分线与x轴交于点Q，那么Q的坐标是多少？

11.28⠥‘襛›热点汇总: （1）零售/物流：《有效降低全社会物流成本行动方案》印发，强调完善现代商贸流通体系。中储股份、供销大集、黑芝麻、大东方。（2）生物航煤SAF：欧盟要求，从2025年1月1日起欧洲飞机燃油中添加2%SAF。海新能科、鹏鹞环保、嘉澳环保。（3）深圳/重组：《深圳市推动并购重组高质量发展的行动方案（2025-2027）》发布。锦龙股份、建科院、深赛格、深振业a。（4）IP经济：二次元及衍生经济快速发展。广博股份、恒信东方、金运激光、奥飞娱乐⠣€华立科技。（5）AI应用：海外AI应用公司Pa⭬⭡⭮⭴⭩r、Ap⭰⭌⭯⭶⭩n等业绩超预期。利欧股份⠣€二六三、华胜天成。（6）跨境电商：促进外贸稳定增长若干政策措施印发。生意宝、跨境通、贝仕达克。

都在找$Ap⭰⭬⭯⭶⭩n(APP)$ 的国内对标公司，我看好两个，港股美图公司 hk01357和A股蓝色光标 sz300058。美图有AI⭇C技术提升广告物料制作效率，并推出专注于游戏广告投放的奇觅，旗下全资子公司睿晟天和就是搞游戏发行和广告的。美图是国内少有的大幅盈利且出海收入长期排在前五的非游戏应用公司。蓝色光标的亮点是其年营收超过500亿，借助于AI技术可提高营销广告投放效率和转化率，继而推动营收和利润率的增长。以蓝色的营收体量，只要稍微提升点利润率，估值就会暴涨。

成都72小时必游景点全攻略有小伙伴问我，去成都玩三天怎么安排最合适？今天就来给大家分享一下我的成都三天三夜游攻略吧！ 𐟓 第一天：市区文化之旅早上不用起太早，9点左右出门去杜甫草堂，逛个2小时左右。草堂附近有一家钵钵鸡特别好吃，强烈推荐！中午去宽窄巷子，吃些地道的小吃，逛个1到2小时。接着去武侯祠，门票60元，还包含讲解服务。逛完武侯祠差不多是傍晚，可以去锦里夜游。锦里晚上特别美，红灯笼亮起，拍照超有感觉！ 𐟌Ÿ 小贴士：杜甫草堂门票50元/人，武侯祠门票60元/人。 𐟓 第二天：熊猫基地与春熙路一大早就去熊猫基地，熊猫们都很可爱哦！熊猫基地没有在市区，可以在春熙路坐旅游直通车过去。下午返回春熙路，逛逛春熙路和太古里。方所书店拍照也很有趣！ 𐟌Ÿ 小贴士：熊猫基地门票58元/人，游览时长大约3小时。 𐟓 第三天：自然风光之旅早上坐动车去都江堰或者青城山，记得提前买好回来的票哦。无论你住在成都还是犀浦，都需要坐地铁2号线到犀浦站，再换乘动车。建议买犀浦站始发的动车票，7点半左右的这一班很方便。 𐟌Ÿ 小贴士：都江堰门票80元/人，青城山门票90元/人。 𐟧𗠥𐏨𔴥㫯𜚥悦žœ想更深入地了解成都的景点，可以在手机上下载三毛.游AP.P，里面有成都200多个景点的讲解，价格也很亲民。希望这篇攻略能帮到大家，祝大家在成都玩得开心！

高颜值实惠浴柜推荐家人们，浴柜作为浴室里不可或缺的家具，选一款好又实惠的真的太重要了！今天我就来给大家种种草，分享几款我觉得非常值得入手的浴柜品牌，都是我亲自体验过的哦，绝对不吹牛~𐟒ꊰŸ›€典杉5535浴室柜：颜值与实力并存颜值：这款浴室柜颜值真的高，轻奢路线设计，简约而不失时尚感，放在浴室里简直就是一件艺术品。功能：灯镜带除雾功能，再也不用担心洗澡时镜子起雾看不清楚了。评价：这款浴室柜不仅颜值高，实力也非常强，是我非常喜欢的一款。 𐟛€箭牌APGMD8G3238-P浴室柜：老牌子值得信赖质量：箭牌作为90年代的老牌子，质量和服务都做得非常出色，产品也相当漂亮。口碑：在市场上有着很好的口碑和评价，选择它绝对不会后悔。评价：这款浴室柜真的是物超所值，性价比超高，强烈推荐给大家！ 𐟛€九牧A2402浴室柜：多层实木更环保材质：多层实木材质，E1环保等级，用起来非常放心。设计：镜柜设计下柜是独立大柜，一体陶瓷台面，适合现代简约和轻奢风的装修风格。评价：这款浴室柜不仅材质环保，设计也非常时尚，是我非常喜欢的一款。说了这么多，到底哪款浴柜更值得入手呢？𐟤”其实每款浴柜都有它独特的优点和魅力，选择哪一款还是要看你的个人需求和喜好。如果你注重颜值和实力并存的话，那么典杉5535浴室柜绝对是你的不二之选；如果你更看重性价比的话，那么箭牌APGMD8G3238-P浴室柜绝对能满足你的需求；如果你喜欢环保又时尚的设计的话，那么九牧A2402浴室柜绝对能打动你的心弦。所以家人们可以根据自己的需求来选择哦~✨ 不过如果真的要推荐一款的话，我会更倾向于推荐典杉5535浴室柜。因为它不仅颜值高、设计感强、而且灯镜还带除雾功能，真的是既实用又美观！这样的浴室柜放在家里简直就是一种享受啊！所以家人们如果还在纠结选哪款浴柜的话，不妨考虑一下典杉5535浴室柜吧~𐟒–

10个问题搞定圆外点与圆切线方程解析几何，顾名思义，就是解析与几何的结合。今天我们来聊聊圆外点与圆的切线方程，看似简单的问题其实蕴含了不少知识点和思想方法。 1️⃣ 求OP的取值范围已知点P(c0,90)在直线1：c+-4=0上，求OP的取值范围。 2️⃣ 求切线长|PA的取值范围过点P作圆0:2+3=2的两条切线，切点分别为A,B，求切线长|PA的取值范围。 3️⃣ 求切点弦|AB|的取值范围连接OA,OB，求切点弦|AB|的取值范围。 4️⃣ 求切点弦AB所在的直线方程对于P(c0,90)，求切点弦AB所在的直线方程（用c0,90表示）。 5️⃣ 证明直线AB过定点，并求该定点证明直线AB过定点，并求出该定点。 6️⃣ POIAB|最小时，求直线AB的方程当POIAB|最小时，求直线AB的方程。 7️⃣ 求四边形PAOB面积的范围求四边形PAOB面积的范围。 8️⃣ 求△AOB面积的取值范围求△AOB面积的取值范围。 9️⃣ 求APAB的取值范围求APAB的取值范围。 𐟔Ÿ 若两切线的夹角为60Ⱟ𜌦𑂐的坐标若两切线的夹角为60Ⱟ𜌦𑂐的坐标。这些问题看似简单，但其中蕴含了不少数学思想和解题技巧。希望你能通过这些问题，更好地理解圆外点与圆的切线方程。

育明高中数学期中答案 𐟓„ 答案进群领取 𐟓– 11. 正四梭柱ABCD-AB1CD1中，AA1=2AB=4，动点P满足AP=aC+b1，且a,b∈(0,1)。下列说法正确的是： A. 当a=b=1/2时，DP=AB-D B. 当a+b=1时，点M是线段BD上的动点，则PM的最小值为2 C. 若直线BP与平面AC1A)所成角为𜌥ˆ™三棱锥B-ALCP的体积的取值范围是[8-2√6，4) D. 当a+2b=1时，三棱锥P-ABC的外接球半径的取值范围是[√2，√3) 𐟓š 12. 已知向量x,y满足x+y=(1,2)，x+2y=(2,3)，则x+y=？ 𐟓 13. 锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足cos2B+cos2C-2cos2A=2(sinB-sinC)，求x的取值范围。 𐟔 14. 若数集S的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称该子集为数集S的超子集。已知集合Ah=(1,2,...,n) (n∈N', n≥3)，记Ah的超子集的个数为an，则a10=？ 𐟓 解答题： 15. 已知函数f(x)=cosx+3sin(x/2)的最小正周期为€‚ 若x∈[0,，求函数f(x)的值域及单调递增区间。若将函数f(x)的图象向右平移2个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为奇函数，求p的最小值。 16. 已知ABC为等边三角形，ABD为等腰直角三角形，ABIBD，平面ABC1平面ABD，平面四边形CBDE中，CE=BD，CE平面ABD，点F为AD中点，连接EF。证明：平面AED⊥平面ABD。求二面角C-AE-D的正弦值。 17. 已知正项数列{a}的前项和为S，满足4S=a^2+2a-8 (n∈N*)。求数列{a}的通项公式。若数列{b}满足ba+1=an+(-1)^n*b^2，bi=2，求数列{b}的前49项和T49。证明：∑b^n/a^n<6。 18. 在平面四边形ABCD中，AD⊥AC，且AD=AC。若ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，若anB=3anA，求的值。当b=时，求ac的最大值。若AB=2BC=4，当ZABC变化时，求BD长度的最大值。 19. 已知函数f(x)与g(x)互为反函数，若A、B两点在曲线y=f(x)上，C、D两点在曲线y=g(x)上，以A、B、C、D四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线y=x垂直，则我们称这个矩形为f(x)与g(x)的关联矩形。若函数y=f(x)为幂函数，且点A在y=f(x)图象上，设F(x)=f(x)-x。求曲线y=F(x)在点(,F())处的切线方程。求函数F(x)的极值点。若函数f(x)=hx，且f(x)与g(x)的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S，证明：S>2（√E-）。

2025八上大培优：导角模型全解析 2025年八年级上册的数学大培优来啦！这次我们重点讲解了八大导角模型，包括八字形、A字型、风筝型、飞镖型、余角、补角模型、一线三等角、双角平分线模型、高与角平分线模型等。大家赶紧刷起来吧！双角平分线夹角模型模型1：三角形双内角平分线夹角模型条件：BP平分∠ABC，CP平分∠ACB。结论：∠P = 90Ⱐ- 1/2∠A。模型2：三角形双外角平分线夹角模型条件：BP平分∠DBC，CP平分∠ECB。结论：∠P = 90Ⱓ€‚ 模型3：三角形一内一外角平分线夹角模型条件：BP平分∠ABC，CP平分∠ACD。结论：∠P = 1/2∠A。 8字形双角平分线夹角模型模型4：8字形双角平分线夹角模型条件：AP平分∠BAD，CP平分∠BCD。结论：∠P = (∠B + 2∠D) / 2。燕尾形双角平分线夹角模型模型5：燕尾形双角平分线夹角模型1 条件：BP平分∠ABD，CP平分∠ACD。结论：∠P = (∠A + ∠D) / 2。模型5：燕尾形双角平分线夹角模型2 条件：AP平分∠BAC，DP平分∠BDC（LC > LB）。结论：∠P = (∠C - ∠B)。实战演练 1. 如图，∠BAC = ∠BDC = 90Ⱟ𜌐B平分∠ABD，PC平分∠ACD，求∠P的度数。 2. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点P，过点P作直线MN，分别与AB、AC交于点M、N。若∠AMN = ∠ANM，求证：∠BPC = ∠BMN = ∠CNM。 3. 如图，E为BC延长线上一点，△ABC和△DCE的平分线交于点F。若∠A = 60Ⱟ𜌢ˆ ADC = 150Ⱟ𜌦𑂢ˆ F的度数。大家赶紧动手试试吧，这些模型掌握了，数学成绩一定能更上一层楼！𐟓š𐟒ꀀ

𐟓š 稽阳联考数学难题大揭秘！𐟔 稽阳联考在浙江的高考联盟中以其高难度而闻名，这次联考更是集结了诸暨中学、春晖中学和新昌中学的智慧结晶。𐟒ꊊ𐟓 填空题：每小题5分，共15分 12. 已知i为虚数单位，若2z+2-z=9+4i，则z=？ 13. 已知等比数列的前n项和为S，若S_n=3S_(n-1)+1，则S_n=？ 14. 已知函数f(x)=e^x-sin2x+1，若对任意x∈(0,+∞)，f(ax)+f(-x)<2，则实数a的取值范围为？ 𐟓 解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. (13分) 如图，四边形ABCD为圆台的轴截面，AB=2CD，圆台的母线与底面所成的角为60Ⱟ𜌦𚿩•🤸𚲯𜌐是弧AB上的点，CP=6，E为AP的中点。证明：DE//平面BCP；求平面ACP与平面BCP夹角的余弦值。 16. (15分) 如图，ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b,c，直线l与ABC的边AB,AC分别相交于点D,E，设LDAE=𜌦𛡨𖳡cos(B-+bcos(A+=？求角的大小；若AE=13，ADE的面积为33，求AADE的周长。 17. (15分) 已知函数f(x)=xln(x+a)。当a=0时，求曲线y=f(x)在点（e,f(e)处的切线方程；若f(x)有两个极值点，求a的取值范围。 18. (17分) 已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右顶点分别为A,B，左右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点，E为椭圆在第一象限上的一点，直线EA,EB分别交轴于点P,Q。求P的值；在直线F2上取一点D（异于Q），使得D1=1，证明：P,D,F三点共线；求APDF2与APF2面积之比的取值范围。 19. (17分) 每个正整数k有唯一的“阶乘表示”为(a…,a)，这些a,满足k=1a+2a+…+mam，其中每个a(i=1,2,3…m,m∈N')都是整数，且0≤a≤ia>0。求正整数3,4,5,6的“阶乘表示”；若正整数k对应的“阶乘表示”为(q,a,…a)，正整数k'对应的“阶乘表示”为(q',a',…a')，其中m>s，求证：k>k'；对正整数k，记b,=[k]，[x]表示不超过x的最大整数，数列[k!][n-1)b,)前n项和为S，若k-S=2024，当k最小时，求a的值。

八年级数学期中考试等腰三角形专题 𐟓… 八年级上册数学期中考试即将来临，想要在等腰三角形部分拿到满分？这里为你准备了6种题型，共24道题，助你轻松应对！ 𐟔 题型1：等腰三角形的性质与判定问题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90Ⱟ𜌧‚𙄦˜上一点，AD=BC。求证：△ABD是等腰三角形。 𐟔 题型2：等腰三角形的存在性问题问题：在坐标平面内，点A(-1,1)，O为原点，P是坐标轴上一点。以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，求符合条件的点P的个数。 𐟔 题型3：等腰三角形的动态问题问题：在直角三角形ABC中，∠C=90Ⱟ𜌢ˆ A=60Ⱟ𜌁B=10cm。点M从B出发以2cm/s的速度向A运动，点N从A出发以1cm/s的速度向C运动。设M、N同时出发，运动时间为t。求当t为何值时，△AMN是以MN为底边的等腰三角形？ 𐟔 题型4：等腰三角形的相似与全等问题问题：在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120Ⱟ𜌧‚𙄦˜上一点，∠ADC=90Ⱓ€‚点P是BA延长线上一点，OP=OC。判断：①APO=LACO；②LAPO+LDCO=30Ⱟ𜛢‘⁃=AO+AP；④PO=PC。其中正确的结论有几个？ 𐟔 题型5：等腰三角形的面积问题问题：在直角三角形ABC中，∠ABC=90Ⱟ𜌁B=BC=4，点O为AC中点，点E在AB上，ZEOF=90Ⱟ𜌏F交BC于点F。求四边形BEOF的面积。 𐟔 题型6：等腰三角形的形状问题问题：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120Ⱟ𜌧‚𙏥œ肃边上运动（不与B、C重合），点D在线段AB上，连结AO，OD。当AO的最小值为4时，BD的长度是多少？当AOID时，判断△AOB的形状并说明理由。在点O的运动过程中，当△AOD是等腰三角形时，求此时∠BDO的度数。 𐟓 掌握这些题型，你就能在八年级上册数学期中考试中轻松应对等腰三角形部分！加油！

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